コンテンツにスキップ

🌀 インダクタンス

📍 学習マップ上の現在地

前提 → 磁気回路　→　[インダクタンス]（現在地）　→　次 → 三相交流

重要度 頻出論点 バージョン
S 自己・相互インダクタンス / 結合係数 / エネルギー v0.7 ✅

コイルは「電流の変化を嫌がる素子」。磁界にエネルギーを蓄え、電流変化に逆らう起電力を発生させる。

🧠 原理（なぜ起きるか）

  • フライホイール（はずみ車）は回転の変化に抵抗する。インダクタも同じで、電流が急に増えようとすると逆起電力で抵抗し、電流が急に減ろうとすると維持しようとする。「電流の慣性」がインダクタンスの本質。
  • エネルギーの蓄え方が違う：コンデンサは==電界に蓄える==（電荷 → 電圧）、インダクタは==磁界に蓄える==（電流 → 磁束）。対になる概念として一緒に整理する。

5秒で思い出す

インダクタ ＝ フライホイール。「急に変えようとするな」と抵抗する。エネルギーは磁界の中に。

📐 公式（どう計算するか）

レイヤーA：基本概念

公式 意味（日本語） 使える条件 使えない条件
$\(e = -L\dfrac{dI}{dt}\)$ 電流が変化するとコイルは逆起電力を生じる 線形コイル、均一磁界 鉄心が磁気飽和している場合
$\(L = \dfrac{N\phi}{I} = \dfrac{\mu N^2 A}{l} \text{ [H]}\)$ コイルの構造（巻数・断面積・長さ・透磁率）でLが決まる 均一磁界の場合 漏れ磁束が大きい場合は近似
$\(W = \dfrac{1}{2}LI^2 \text{ [J]}\)$ コイルに蓄えられるエネルギーは電流の2乗に比例 電流が定常状態 過渡状態では瞬時値が変化

環状鉄心コイルのL計算手順（R07上問3・H20問4・H18問4 出題）

環状鉄心コイルの自己インダクタンス計算は出題頻度が高い。公式の各記号の意味を理解して代入できるようにしておく。

\[L = \frac{\mu_0 \mu_r N^2 A}{l} \text{ [H]}\]
記号 意味 単位 注意点
\(\mu_0\) 真空の透磁率 \(4\pi \times 10^{-7}\) H/m 定数として与えられることが多い
\(\mu_r\) 比透磁率（鉄心の材料で決まる） 無次元 問題文で「比透磁率＝○○」として与えられる
\(N\) 巻数 回（無次元） Lは\(N^2\)に比例。巻数を2倍にするとLは4倍
\(A\) 鉄心の断面積 m² cm²で与えられたら \(\times 10^{-4}\) に変換
\(l\) 磁路の長さ（環状鉄心の中心線の周長） m cm で与えられたら \(\times 10^{-2}\) に変換

「巻数とLの関係」が問われる典型問題

巻数を \(N_1\) から \(N_2\) に変えたときのインダクタンス比：

\[\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2\]

例：巻数を2倍にした → \(L\) は4倍になる。巻数を半分にした → \(L\) は \(\frac{1}{4}\) になる。

レイヤーB：応用変換

公式/手法 意味 使える条件 使えない条件
$\(e_2 = -M\dfrac{dI_1}{dt}\)$ コイル1の電流変化がコイル2に起電力を誘導（相互誘導） 2コイルが磁気的に結合している場合 磁気遮蔽されている場合
$\(k = \dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} \quad (0 \leq k \leq 1)\)$ 結合係数：どれだけ磁束が共有されているか 常に定義可能 k=1は理想変圧器（漏れ磁束ゼロ）の理想値
$\(L = L_1 + L_2 + 2M \quad \text{（和動）}\)$ 磁束が同方向に強め合う直列接続 直列かつ磁束が同方向 磁束が逆方向（差動）では符号反転
$\(L = L_1 + L_2 - 2M \quad \text{（差動）}\)$ 磁束が逆方向に弱め合う直列接続 直列かつ磁束が逆方向 和動接続では符号反転

和動・差動の見分け方と計算手順（H29問3・R04上問3 出題）

合成インダクタンスの計算は「和動か差動か」の判別が最大の落とし穴。

回路図から判別する手順

  1. 各コイルの同名端子（•印または ◇ 印）を確認する
  2. 2つのコイルを直列に接続したとき、電流の流れる向きと同名端子の位置を見る
  3. 「電流が同名端子側から入る・入る」または「同名端子側から出る・出る」→ 和動（＋2M）
  4. 「一方は同名端子から入り、他方は同名端子から出る」→ 差動（−2M）

Mの値から最大合成インダクタンスを逆算する

和動と差動のL測定値から M を求めることができる：

\[M = \frac{L_{和動} - L_{差動}}{4}\]

これを利用して「和動接続と差動接続のL測定値が与えられ、M または \(k\) を求めよ」という問題が出る。

Mが求まったら k を計算：

\[k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}\]

引っかかりやすいポイント：「直列接続だから単純に \(L_1 + L_2\)」と計算すると誤り。相互結合がある場合は必ず \(\pm 2M\) を加減する。

📊 比較表

コンデンサ vs インダクタ（双対関係）

項目 コンデンサ（C） インダクタ（L）
蓄えるエネルギー 電界 磁界
エネルギー式 $\(W = \dfrac{1}{2}CV^2\)$ $\(W = \dfrac{1}{2}LI^2\)$
急変を嫌うもの 電圧（V） 電流（I）
直流定常状態 開放（電流ゼロ） 短絡（電圧ゼロ）
インピーダンス $\(Z = \dfrac{1}{j\omega C}\)$ $\(Z = j\omega L\)$

自己インダクタンス vs 相互インダクタンス

項目 自己インダクタンス（L） 相互インダクタンス（M）
対象 1つのコイル 2つのコイルの組み合わせ
物理的意味 自分自身の電流変化に対する逆起電力 相手コイルの電流変化に対する誘導起電力
単位 H（ヘンリー） H（ヘンリー）
符号 常に正 接続方向で正負が変わる

和動接続 vs 差動接続

項目 和動接続（＋2M） 差動接続（－2M）
磁束の向き 同方向（強め合う） 逆方向（弱め合う）
合成インダクタンス $\(L_1 + L_2 + 2M\)$（大きくなる） $\(L_1 + L_2 - 2M\)$（小さくなる）
巻き方の判断 同名端子を直列 異名端子を直列

コンデンサとインダクタの直列・並列公式の違い（双対関係）

コンデンサとインダクタは「双対」の関係にある。公式の形が入れ替わるので混同に注意。

接続 コンデンサ C インダクタ L（相互結合なし）
直列 \(\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\)（合成容量が小さくなる） \(L = L_1 + L_2\)（合成Lが大きくなる）
並列 \(C = C_1 + C_2\)（合成容量が大きくなる） \(\dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\)（合成Lが小さくなる）

覚え方：コンデンサの直列とインダクタの並列が「同じ形の式」、コンデンサの並列とインダクタの直列が「同じ形の式」になる（完全に入れ替わっている）。

🕳️ よくある勘違いTOP3

❌ こう思いがち①: 自己誘導起電力のマイナス符号は計算上の話で、物理的意味はない ✅ 実際は: マイナスはレンツの法則そのもの。「変化を妨げる向き」に起電力が生じることを示す。符号を落とすと向きが逆になり、エネルギーの授受が逆転する。

❌ こう思いがち②: 相互インダクタンスMは常に正の値 ✅ 実際は: Mの絶対値は常に正だが、合成インダクタンスを求める際は接続方向（和動か差動か）によって +2M か −2M になる。巻き方（同名端子の位置）で決まる。

❌ こう思いがち③: 結合係数k=1のコイルは現実に存在する ✅ 実際は: k=1は「漏れ磁束がゼロ」の理想変圧器の条件。現実のコイルは必ず漏れ磁束があるので k<1。k≈1 に近いのは鉄心トランスで、空芯コイルはkがかなり小さい。

❌ こう思いがち④: 相互結合コイル回路の電圧計算では、自己インダクタンス分の電圧だけ考えればよい ✅ 実際は: 相互結合がある場合、コイルの端子電圧は自己誘導（\(L \frac{dI}{dt}\)）と相互誘導（\(M \frac{dI'}{dt}\)）の両方を加減する必要がある。和動か差動かで符号が変わるため、向きの確認が必須。

🧩 正答者 vs 誤答者

観点 ❌ 誤答者 ✅ 正答者
自己誘導の符号 e = L(dI/dt) とマイナスを忘れる e = -L(dI/dt)（逆起電力はレンツの法則でマイナス）
和動・差動の判別 接続図を見ずに「直列なら和」と思い込む 磁束が強め合う向き（和動）か打ち消し合う向き（差動）かで符号が変わる
結合係数kの範囲 k > 1 になることがあると思い込む 0 ≤ k ≤ 1（k=1は理想的な完全結合、現実はk<1）
エネルギーの公式 W = LI（Iの2乗を忘れる） W = LI²/2（運動エネルギーのmv²/2と対比して覚える）
インダクタの電流 スイッチ切替時に電流が急変すると考える インダクタの電流は急変できない（過渡現象の初期条件）

相互結合コイル回路の電圧最大値の求め方（R05上問10 出題）

「コイルを接続した回路に現れる電圧の最大値を求めよ」という計算問題の解法。

問題パターン: 2つのコイル \(L_1\)、\(L_2\)（相互インダクタンス \(M\)）が和動または差動で直列接続された回路に交流電流 \(i = I_m \sin\omega t\) が流れるとき、回路の端子電圧の最大値を求める。

解法手順

  1. 合成インダクタンスを計算する
  2. 和動：\(L = L_1 + L_2 + 2M\)
  3. 差動：\(L = L_1 + L_2 - 2M\)
  4. 誘導リアクタンスを計算する：\(X_L = \omega L\)
  5. 電流最大値 \(I_m\) と \(X_L\) を掛けて電圧最大値を求める：\(V_m = X_L \cdot I_m = \omega L \cdot I_m\)

なぜ \(V_m = \omega L \cdot I_m\) になるか

交流電流 \(i = I_m \sin\omega t\) をコイルに流すと、電圧は：

\[v = L \frac{di}{dt} = L \cdot I_m \omega \cos\omega t\]

最大値は \(\cos\omega t = 1\) のとき → \(V_m = \omega L I_m\)

引っかかりやすいポイント：問題に \(M\) が与えられると「どう使うのか？」で迷いがちだが、まず合成インダクタンスを作って、あとは単一コイルと同じ手順で計算する。

📝 出題実績

出典: 電験王3（denken-ou.com）H18〜R07上期の過去問一覧より収集（2026-03-30） ※ 電磁気（磁気）の中から自己インダクタンス・相互インダクタンス・合成インダクタンスに関する問題を抽出。

年度 問 形式 何が問われたか
R07上 問3 計算 環状鉄心に巻くコイルの自己インダクタンスと巻数の関係
R07上 問4 計算 直線状導体と円形コイルが作る磁界の比較
R06上 問3 計算 磁気に関する量とその単位記号の組合せ
R05上 問10 計算 コイルを接続した回路に現れる電圧の最大値
R04上 問3 計算 コイルの自己インダクタンスと相互インダクタンスの関係
H30 問14 論説 SI組立単位と基本単位に関する論説
H29 問3 計算 合成インダクタンス
H28 問3 計算 ビオ・サバールの法則
H24 問3 穴埋 コイルのインダクタンス
H23 問4 計算 正方形のコイルと円形コイルの比較
H21 問4 計算 扇形導線が作る磁界の大きさ
H20 問4 計算 環状鉄心に巻くコイルの自己インダクタンスと巻数の関係
H18 問4 計算 コイルの自己インダクタンスの導出

→ 出題頻度: ★★★（毎年度1問、問3・問4から出題。磁気回路と兼ねて出題される傾向）

確認問題

問題: L=50mHのコイルに5Aの電流が流れているとき、蓄えられているエネルギーを求めよ。

解答

答え: W = LI²/2 = 0.05×25/2 = 0.625J ポイント: W = LI²/2（運動エネルギー mv²/2 との対応で覚える）

Level 2: 数学的背景 🔬

結合インダクタの等価回路

相互インダクタンスMを持つ2コイルの等価回路： - T型等価回路（Y等価）：L1-M、L2-M、Mの3インダクタ - 理想変圧器の条件：k=1（完全結合）のとき

\[ M = k\sqrt{L_1 L_2} \quad (0 \leq k \leq 1) \]

変圧器の動作原理：1次コイルの磁束変化が2次コイルに相互誘導起電力を発生させる。巻数比 \( N_1/N_2 \) が電圧変換比、\( N_2/N_1 \) が電流変換比に対応。

Level 3: 実務との接点 🏭

変電所・工場の変圧器はインダクタンスの相互結合で電圧変換する。リアクトル（インダクタ）は系統の短絡電流制限や高調波フィルタに使う。現場では「インピーダンス %（%Z）」という形でインダクタンスを管理する。

最終確認: 2026-04-01 | ステータス: v0.7（構造・公式・数値検証済み） | バージョニング基準