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コンデンサの電界と電位差（誘電体挿入）

科目について

本テーマは理論科目（静電気）の内容だが、コンデンサ・誘電体・電界の基礎は電力科目のケーブル（静電容量・電界計算）とも直結する。過去問 H17-B 問18 を題材に、誘電体挿入時の電界比と充電電圧の求め方を整理する。

1. 直感的理解

本質: 平行板コンデンサに誘電体を挿入すると、電極間は「空気層」と「誘電体層」の直列になる。両層を貫く電気力線（電束）は共通で、電界の大きさは各層の誘電率で決まる。

考え方の3ステップ:
  ① 電極の電荷 Q から出る電束は共通（電束密度 D が連続）
  ② 各層の電界 E = D / ε → 誘電率が大きい層ほど電界は弱い
  ③ 全体の電圧 V = 各層の電界 × 各層の厚さ の合計（直列）

なぜ誘電体中の電界は弱くなるか（因果理解）

電極に与えた電荷 Q は固定。ここから出る電束密度 D = Q/S は空気層でも誘電体層でも同じ値（電束は途中で消えず貫通する）。 電界は \(E = D/\varepsilon\) なので、誘電率 \(\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_s\) が大きい誘電体中では E が \(1/\varepsilon_s\) に弱まる。 誘電体内部では分極（誘電分極）によって逆向きの電界が生じ、正味の電界を打ち消す向きに働くため——というのが物理的な理由。

2. 例題（H17-B 問18）

問題設定

  • 電極板間隔 \(d_0\) [m]、面積が十分広い平行板空気コンデンサ
  • 同形・同面積、厚さ \(d_1\) [m]、比誘電率 \(\varepsilon_s\) の誘電体を挿入
  • 電極 A・B に \(+Q\) [C]、\(-Q\) [C] を与えた
  • 初期電荷は零、端効果は無視、空気の比誘電率は 1
     A  +Q ┌─────────────────────┐ ┐
           │   空気（εs = 1.0）    │ │ d₀ - d₁   → 電界 E₁
           ├─────────────────────┤ ┤
           │▓▓ 誘電体（εs）▓▓▓▓▓▓│ │ d₁        → 電界 E₂
     B  -Q └─────────────────────┘ ┘

(a) 空げきの電界 \(E_1\) と誘電体中の電界 \(E_2\) の比 \(E_1/E_2\)

電荷 \(Q\) が与えられ、電極間に電位差 \(V\)、電界 \(E_1\)・\(E_2\) が生じたと考える。 電極 A から B へ電気力線が貫通する（端効果無視 → 一様な平等電界）。

電極面積を \(S\)、真空の誘電率を \(\varepsilon_0\) とすると、電束密度 \(D = Q/S\) は両層で共通なので：

\[ E_1 = \frac{D}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}\quad\cdots①\qquad E_2 = \frac{D}{\varepsilon_0 \varepsilon_s} = \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon_s S}\quad\cdots② \]

したがって：

\[ \boxed{\;\frac{E_1}{E_2} = \varepsilon_s\;} \]

答え (a)：選択肢 (1) \(\varepsilon_s\)

電界の比は誘電率の比そのもの。\(D\) が共通で \(E = D/\varepsilon\) だから、面積 \(S\) も厚さも比には効かない。選択肢に \(d_0, d_1\) が入っているものはすべてダミー（電界比に厚さは無関係）。

(b) 充電電圧 \(V\) の算出

与えられた数値：

記号 値
電極板間隔 \(d_0\) \(1.0\times10^{-3}\) m
誘電体の厚さ \(d_1\) \(0.2\times10^{-3}\) m
比誘電率 \(\varepsilon_s\) 5.0
空げきの電界 \(E_1\) \(7\times10^{4}\) V/m

手順1：各層の厚さを求める

  • 空気層の厚さ ＝ \(d_0 - d_1 = (1.0 - 0.2)\times10^{-3} = 0.8\times10^{-3}\) m
  • 誘電体層の厚さ ＝ \(d_1 = 0.2\times10^{-3}\) m

手順2：誘電体中の電界 \(E_2\) を求める（(a) の結果を利用）

\[ E_2 = \frac{E_1}{\varepsilon_s} = \frac{7\times10^{4}}{5.0} = 1.4\times10^{4}\ \text{V/m} \]

手順3：電圧は各層の「電界 × 厚さ」の和（直列だから加算）

\[ V = E_1(d_0 - d_1) + E_2\, d_1 $$ $$ = 7\times10^{4}\times0.8\times10^{-3} \;+\; 1.4\times10^{4}\times0.2\times10^{-3} $$ $$ = 56 + 2.8 = 58.8\ \text{V} \]

答え (b)：選択肢 (4) 58.8 [V]

3. 頻出計算パターン（誘電体直列コンデンサ）

公式

電束密度（共通）:  D = Q / S
各層の電界:        E = D / ε = Q / (ε₀ εs S)
電界の比:          E₁ / E₂ = εs₂ / εs₁   （厚さ無関係）
全電圧（直列）:     V = E₁ d₁ + E₂ d₂ + …  （各層の電界×厚さの和）
記号 意味 単位
\(D\) 電束密度（各層で共通） C/m²
\(E\) 電界の強さ V/m
\(\varepsilon_0\) 真空の誘電率 F/m
\(\varepsilon_s\) 比誘電率 —
\(S\) 電極面積 m²
\(V\) 電極間電圧 V

手順

  1. 「電束密度 \(D=Q/S\) は全層共通」と押さえる（ここが起点）
  2. 各層の電界 \(E = D/(\varepsilon_0\varepsilon_s)\) → 誘電率が大きい層ほど電界は小さい
  3. 電界の比を出すときは \(\varepsilon_s\) の比だけ（厚さは無関係）
  4. 電圧は各層の \(E\times\)(厚さ) を足す（直列なので加算）

4. 引っかけパターン

【引っかけ1】電界比に厚さが効くと思わせる

(a) の選択肢には \(\dfrac{\varepsilon_s d_1}{d_0-d_1}\) のように厚さ入りの式が並ぶが、電界比は \(E_1/E_2=\varepsilon_s\) で厚さは無関係。\(D\) が共通で \(E=D/\varepsilon\) という関係を思い出せば即答できる。

【引っかけ2】電圧を「電界×全体間隔」で計算してしまう

\(V = E_1 \times d_0\) としてしまうミス（\(= 70.0\) V ＝ 選択肢(2) のダミー）。 誘電体層は電界が弱い（\(E_2 = E_1/\varepsilon_s\)）ので、層ごとに \(E\times\)厚さ を分けて足す必要がある。全体を \(E_1\) で通すと過大評価になる。

【引っかけ3】誘電体中の電界を強いと勘違い

「誘電率が大きい＝電界も強い」は逆。\(D\) 一定のもとでは \(E=D/\varepsilon\) なので、誘電率が大きいほど電界は弱い。電圧配分も誘電体層の方が小さくなる。

5. 電力科目とのつながり

  • 電力ケーブルの電界計算：CVケーブルの絶縁体（XLPE）中の電界分布も「電束密度連続 → \(E=D/\varepsilon\)」の同じ考え方。導体表面で電界最大になる。
  • 絶縁材料の比誘電率：電気材料 で扱う絶縁材料の \(\varepsilon_s\) が、コンデンサ・ケーブルの静電容量や電界配分を決める。
  • 静電容量の合成：空気層と誘電体層は直列コンデンサとして \(\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\) で合成できる（別解）。

📊 出題実績

年度 問 出題内容 問題タイプ 難易度
H17 B問18 誘電体挿入時の電界比および充電電圧の算出 計算 ★★★☆☆

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